الحل بطريقة كرامير:
رغم أنه يمكن تعميم طريقة التعويض إلى هذه الحالة،
إلا أننا سنكتفي بطريقة كرامير؛ وذلك لسهولتها.
ليكن لدينا جملة ثلاث معادلات خطية ذات ثلاثة مجاهيل
x و y و z على الشكل التالي:
بحيث إن المعاملات a1 و a2 و a3و b1 و b2 و b3 و c1 و c2 و c3 والثوابت d1 و d2 و d3 هي أعداد حقيقية. محدد الجملة D هو المحدد 3 في 3؛ بحيث كل عمود فيه متكون من معاملات مجهول واحد،
وكل صف متكون من معاملات المجاهيل في معادلة واحدة، أي أن:
محدد مجهول ما هو إلا المحدد 3 في 3 بحيث نستبدل عمود معاملات المجهول بعمود الثوابت في محدد الجملة، أي أن:
نظرية
حل جملة المعادلات الخطية ذات ثلاثة مجاهيل للتعريف السابق له ثلاث حالات فقط، هي:
الحالة الأولى: إذا كان محدد الجملة لا يساوي الصفر، فإن للجملة حلا وحيدًا، هو:
الحالة الثانية: إذا كان محدد الجملة يساوي الصفر،
وكان واحد (على الأقل) من محددات المجاهيل لا يساوي الصفر،
فإن الجملة مستحيلة الحل.
الحالة الثالثة: إذا كان محدد الجملة يساوي الصفر،
وكان كل محدد من محددات المجاهيل يساوي الصفر،
فإن للجملة عددًا لا نهائي من الحلول.